BARISAN DAN DERET
Banyak manfaat yang dapat anda peroleh dengan
mempelajari barisan dan deret ini. Di antaranya untuk memecahkan masalah
berikut.
Apabila seorang petani memanen tomatnya saat ini, ia akan
mendapatkan Rp 1.500,00 per kg.Apabila ia menunda masa panennya,jumlah tomatnya
akan bertambah 10 kg tiap minggu, tetapi harganya turun Rp 50,00 per kg setiap
minggu.Tentukan pada minggu keberapa petani harus memanen tomatnya agar
hasilnya maksimal ? Untuk menjawab permasalahan tersebut, anda harus mempelajari
barisan dan deret.
Seorang anak menabung di sebuah bank pada setiap
akhir bulan. Mula – mula ia membuka rekening sebesar Rp 50.000,00. Selanjutnya,
setiap akhir bulan ia selalu menabung Rp 5.000,00 lebih besar
dibandingkandengan bulan sebelumnya, yaitu Rp 55.000,00 pada akhir bulan kedua,
Rp 60.000,00 pada akhir bulan ketiga, dan seterusnyaSekarang dengan mengabaikan
bunga bank dan potongan administrasi lainnya, berapakah jumlah tabungan anak
tersebut pada akhir bulan ke- 50.
Untuk menyelesikan masalah diatas kita harus
mempelajari barisan dan deret
1. DENGAN MELAKUKAN KEGIATAN SISWA 8.1 :
a. apakah
barisan bilangan itu ?
b. Dari
kegiatan siswa 8.1 anda mendapatkan urutan bilangan sebagai berikut :
2,4,7,11,16,...
Urutan
bilangan di atas mengikuti pola tertentu,coba anda amati barisan
tersebut.Jika anda amati dengan seksama mulai suku ke dua ( dinotasikan
U2 ),
suku
kedua di peroleh dari suku pertama ditambah 2, suku ketiga di peroleh
dari
suku ke dua ditambah 3, dan seterusnya. Apabila kita menentukan dua
suku
setelah suku kelima masih mudah kita memprediksinya yaitu 22 dan 29.
Bagaimana jika kita di minta menentukan suku ke-85, tentunya memerlukan
waktu
yang lama dan membosankan. Cara yang baik adalah menentukan rmus
suku
ke-n ( di notasikan Un ) dari barisan tersebut .
Menentukan rumus ke – n suatu barisan.
Coba
anda perhatikan contoh 8.1 halaman 245
Pada
contoh anda memperoleh barisan bilangan : 3,5,7,9,...
Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku
ke – n
barisan itu, Amati barisan dengan seksama dengan melihat pola dari
barisan
Suku
ke-1, U1 = 3 = 1 + 2 = ( 1 + 0 ) + 2 = (1+ (1-1) ) + 2
Suku
ke-2, U2 = 5 = 3 + 2 = ( 2 + 1 ) + 2 = ( 2+ (2-1) ) + 2
Suku
ke-3, U3 = 7 = 5 + 2 = ( 3 + 2 ) + 2 = ( 3 + (3-1) ) + 2
Suku
ke-4, U4 = 9 = 7 + 2 = ( 4 + 3 ) + 2 = ( 4 + (4-1) ) +2
Suku
ke-5, U5 = 11 = 9 + 2 = ( 5 + 4 ) + 2 = ( 5+ (5-1) ) +2
dst
Suku
ke-n, Un = ( n + ( n-1 ) )
+ 2 = n + n -1 + 2 = 2n +1
Untuk memeriksa kebenarannya coba anda
sustitusikan n=2 dan n=
5 yang
harus memberikan hasil 5 dan 11.
Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan
atau rumus untuk suku
ke – n barisan 1,3,9,27,....
U1 = 1 = 30 = 31-1
U2 = 3 = 31 = 32-1
U3 = 9 = 32 = 33-1
U4 = 27 = 33 = 34-1
Dst
Un =
3....-1
2. Apakah definisi DERET BILANGAN
3. BARISAN ARITMETIKA
Telah anda
ketahui bahwa urutan bilangan 3,5,7,9,... di sebut barisan bilangan. Coba anda hitunga selisih atau beda dua
suku yang berurutan. Misalnya 5 dan 3, 7 dan 5, 9 dan 7. Apa yang anda peroleh
?
5-3=..., 7-5=...,9-7=....
Angka 2 disebut beda dari barisan. Barisan seperti
ini di sebut BARISAN ARITMETIKA
a. Jadi
apakah definisi BARISAN ARITMETIKA
b. Tentukan
apakah setiap barisan berikut adalah barisan aritmetika.Jika ya,
tentukan
bedanya
2,4,6,8,.....
75,71,67,63,....
3,6,12,24,...
Jika
barisannya adalah barisan aritmetika maka menurut definisi barisan
aritmetika haruslah di penuhi
Un
- Un-1 = b ( beda ), dengan n > 1
Selanjutnya, Anda akan menurunkan rumus umum suku ke
–n, yaitu Un dari suatu barisan aritmetika.
Misalnya, a, a +b, a+2b, a+3b, a+4b,...adalah
barisan aritmetika dengan beda b, maka :
U1 = a = a + 0b = a + ( 1 – 1) b
U2 = a + b = a + 1b = a + ( 2 - 1 ) b
U3 = a + 2b = a + ( ... – 1 ) b
U4 = a + 3b = a + ( ... – 1 ) b
Dst
Un = ...+ (... - ... ) ...
Atau
Un = U1 + (....-....) ....
Jadi :
Jika BA : U1,
U2 , U3 , ... , Un memiliki
suku pertama a dan beda b
Maka : rumus umum suku ke – n adalah Un
= a + ( n – 1 ) b
Tentukan rumus suku ke –n dari barisan aritmetika
berikut, kemudian tentukan nilai suku barisan yang dicantumkan pada setiap
akhir barisan
a. 2,5, 8, 11, ..., U15
b. 30, 28, 26, 24 , ... U50
c. Jika diketahui
BA,U10 = 24 dan U6 = 9. Tentukan suku pertama dan
bedanya
4. DERET ARITMETIKA
Jika suku
– suku barisan aritmetika kita jumlahkan maka akan di peroleh deret aritmetika.
BA : 3, 5, 7, 9,11,13
DA: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
Untuk menentukan jumlah n suku yang pertama dari DA
digunakan notasi Sn , Dengan demikian untuk menjumlahkan 6 suku
pertama DA diatas mudah kita hitung dengan cara sbb :
Tulis deret mulai dari suku pertama sampai dengan
suku terakhir (suku ke -6), kemudian tepat di bawahnya tulis deret dalam arah
kebalikannya, yaitu dari suku terakhir ( suku ke – 6 ) sampai dengan suku
pertama
S6 = 3 + 5 + 7 + 9 +
11 + 13
S6 =
13 + 11 + 9 + 7 +
5 + 3
_____________________________ +
2. S6 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 6 x
16
S6 = x 6 x 16 = 48
Kegiatan :
menemukan rumus umum deret aritmetika
kerjakan bersama teman sebangku
dengan menuliskan DA dalam notasi umum yaitu :
Sn = U1 + (U1+ b) + (U1+ 2b) +... +(Un
-b) + Un
Sn = Un + (Un - b) + (Un
- 2b). +...+ (U1 + b) + U1
____________________________________________________+
2. Sn = (U1 + Un )
+ (U1 + Un ) + (U1 + Un ) +...+( U1
+ Un ) + (U1 + Un )
2.
Sn= n x (U1 + Un )
Sn = x n x (U1 + Un )
Sn = ( U1 + Un )
Atau
Sn = [ U1 + U1+(n-1)b)]
Sn = [2. U1+(n-1)b]
Jika U1= a , maka
Sn = [2.a+(n-1)b]
Kegiatan :
Menemukan rumus yang berlaku bagi semua deret
Dengan menulis DA dalam bentuk umum, yaitu
Sn =
U1 + U2 + U3
+... + Un-1 + Un
Sn-1 = U1 + U2 + U3 +... + Un-1
kurangkanlah Sn dengan Sn-1,hubungan
apakah yang anda peroleh ?
Tentukan jumlah 15 suku yang pertama DA jika U1
= 10 dan U15 = 95
Tentukan 3 + 13 + 23 + 33 + 43 + ... + U120
Tentukan jumlah deret 93 + 89 + 85 + 81 + 77 + ... +( - 307 )
5. BARISAN GEOMETRI
Telah anda ketahui bahwa urutan bilangan
1,3,9,27,... di sebut barisan bilangan. Coba
anda hitung perbandinganatau rasio dua suku yang berurutan.
Misalnya ,, . Apa yang anda peroleh ?
Angka 3 disebut rasio dari barisan. Barisan seperti
ini di sebut BARISAN GEOMETRI
a. Jadi
apakah definisi BARISAN GEOMETRI
b. Tentukan apakah setiap barisan berikut adalah
barisan geometri .Jika ya,
tentukan
rasionya
2, 4, 8,
16, ...
1, 3, 4,
7,11,...
256,64,16,4,...
Jika barisannya adalah barisan geometri maka menurut
definisi barisan
Geometri
haruslah di penuhi
, dengan n > 1
Selanjutnya, Anda akan menurunkan rumus umum suku ke
–n, yaitu Un dari suatu barisan geometri.
Misalnya : U1
,U2, U3, U4, ...., Un adalah
barisan geometri dengan rasio r , maka :
U1 = U1
U2 = U1 . r
U3=
U2 . r = U1. r. r = U1.r2 = U1.r3-1
U4= U3 . r = U1..r2.r
= U1.r3 = U1.r4-1
Dst
Un=
U1. r....- ...
Jadi :
Jika BG : U1,
U2 , U3 , ... , Un memiliki
rasio r
Maka : rumus umum suku ke – n adalah Un
= U1. rn-1
Tentukan suku ke -8
dan suku ke – n dari barisan 2, 6, 18, 54, ...
Dari suatu BG diketahui dan . Tentukan rasionya
Dari suatu BG diketahui dan , dan rasio -3. Tentukan nilai n
6. DERET GEOMETRI
Jika suku – suku barisan geometri kita jumlahkan
maka akan di peroleh deret geometri. Untuk menentukan jumlah n suku yang
pertama dari DG lihat halaman 257.
Selesaikan latihan Subbab B halaman 259 nomor 2,3
Jumlah adalah . Tentukan banyak suku dari deret ini