BARISAN DAN DERET

Banyak manfaat yang dapat anda peroleh dengan mempelajari barisan dan deret ini. Di antaranya untuk memecahkan masalah berikut.

Apabila seorang petani  memanen tomatnya saat ini, ia akan mendapatkan Rp 1.500,00 per kg.Apabila ia menunda masa panennya,jumlah tomatnya akan bertambah 10 kg tiap minggu, tetapi harganya turun Rp 50,00 per kg setiap minggu.Tentukan pada minggu keberapa petani harus memanen tomatnya agar hasilnya maksimal ? Untuk menjawab permasalahan tersebut, anda harus mempelajari barisan dan deret.

Seorang anak menabung di sebuah bank pada setiap akhir bulan. Mula – mula ia membuka rekening sebesar Rp 50.000,00. Selanjutnya, setiap akhir bulan ia selalu menabung Rp 5.000,00 lebih besar dibandingkandengan bulan sebelumnya, yaitu Rp 55.000,00 pada akhir bulan kedua, Rp 60.000,00 pada akhir bulan ketiga, dan seterusnyaSekarang dengan mengabaikan bunga bank dan potongan administrasi lainnya, berapakah jumlah tabungan anak tersebut pada akhir bulan ke- 50.

Untuk menyelesikan masalah diatas kita harus mempelajari barisan dan deret

1. DENGAN MELAKUKAN KEGIATAN SISWA 8.1 :

    a. apakah barisan bilangan itu ?

    b. Dari kegiatan siswa 8.1 anda mendapatkan urutan bilangan sebagai berikut :

        2,4,7,11,16,...

        Urutan bilangan di atas mengikuti pola tertentu,coba anda amati barisan 

        tersebut.Jika anda amati dengan seksama mulai suku ke dua ( dinotasikan U₂ ),

        suku kedua di peroleh dari suku pertama ditambah 2, suku ketiga di peroleh

        dari suku ke dua ditambah 3, dan seterusnya. Apabila kita menentukan dua

        suku setelah suku kelima masih mudah kita memprediksinya yaitu  22 dan 29.

        Bagaimana jika kita di minta menentukan suku ke-85, tentunya memerlukan

        waktu yang lama dan membosankan. Cara yang baik adalah menentukan rmus

        suku ke-n ( di notasikan U_n ) dari barisan tersebut .

        Menentukan rumus ke – n suatu barisan.

        Coba anda perhatikan contoh 8.1 halaman 245

        Pada contoh anda memperoleh barisan bilangan : 3,5,7,9,...

        Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku

        ke – n barisan itu, Amati barisan dengan seksama dengan melihat pola dari

        barisan

        Suku ke-1, U₁ = 3 = 1 + 2 = ( 1 + 0 ) + 2 = (1+ (1-1) ) + 2

        Suku ke-2, U₂ = 5 = 3 + 2 = ( 2 + 1 ) + 2 = ( 2+ (2-1) ) + 2

        Suku ke-3, U₃ = 7 = 5 + 2 = ( 3 + 2 ) + 2 = ( 3 + (3-1) ) + 2

        Suku ke-4, U₄ = 9 = 7 + 2 = ( 4 + 3 ) + 2 = ( 4 + (4-1)  ) +2

        Suku ke-5, U₅ = 11 = 9 + 2 = ( 5 + 4 ) + 2 = ( 5+ (5-1) ) +2

        dst

        Suku ke-n, U_n =    ( n + ( n-1 ) ) + 2 = n + n -1 + 2 = 2n +1

       

Untuk memeriksa kebenarannya coba anda sustitusikan  n=2  dan  n= 5  yang  

harus memberikan hasil  5 dan 11.

Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku

ke – n barisan 1,3,9,27,....

U₁ = 1 = 3⁰ = 3^1-1

U₂ = 3 = 3¹ = 3^2-1

U₃ = 9 = 3² = 3^3-1

U₄ = 27 = 3³ = 3^4-1

Dst

U_n =   3^....-1

2. Apakah definisi DERET BILANGAN

3. BARISAN ARITMETIKA

    Telah anda ketahui bahwa urutan bilangan 3,5,7,9,... di sebut barisan bilangan. Coba  anda hitunga selisih atau beda dua suku yang berurutan. Misalnya 5 dan 3, 7 dan 5, 9 dan 7. Apa yang anda peroleh ?

5-3=..., 7-5=...,9-7=....

Angka 2 disebut beda dari barisan. Barisan seperti ini di sebut BARISAN ARITMETIKA

 a. Jadi apakah definisi BARISAN ARITMETIKA

 b. Tentukan apakah setiap barisan berikut adalah barisan aritmetika.Jika ya,

      tentukan bedanya

      2,4,6,8,.....

      75,71,67,63,....

      3,6,12,24,...

      Jika barisannya adalah barisan aritmetika maka menurut definisi barisan

      aritmetika haruslah di penuhi

                                      U_n - U_n-1 = b ( beda ), dengan n > 1

Selanjutnya, Anda akan menurunkan rumus umum suku ke –n, yaitu U_n dari suatu barisan aritmetika.

Misalnya, a, a +b, a+2b, a+3b, a+4b,...adalah barisan aritmetika dengan beda b, maka :

U₁ = a       = a + 0b = a + ( 1 – 1) b

U₂ = a + b = a + 1b = a + ( 2  - 1 ) b

U₃ =             a + 2b = a + ( ... – 1 ) b

U₄ =             a + 3b = a + ( ... – 1 ) b

Dst

U_n =                           ...+  (... - ... ) ...

Atau

U_n = U₁ + (....-....) ....

Jadi :

Jika  BA : U₁, U_{2 ,} U₃ , ... , U_n  memiliki  suku pertama a dan beda b

Maka : rumus umum suku ke – n adalah  U_n = a + ( n – 1 ) b

Tentukan rumus suku ke –n dari barisan aritmetika berikut, kemudian tentukan nilai suku barisan yang dicantumkan pada setiap akhir barisan

a. 2,5, 8, 11, ..., U₁₅

b. 30, 28, 26, 24 , ... U₅₀

c. Jika diketahui  BA,U₁₀ = 24 dan U₆ = 9. Tentukan suku pertama dan bedanya

4. DERET ARITMETIKA

    Jika suku – suku barisan aritmetika kita jumlahkan maka akan di peroleh deret aritmetika.

BA : 3, 5, 7, 9,11,13

DA: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

Untuk menentukan jumlah n suku yang pertama dari DA digunakan notasi S_n , Dengan demikian untuk menjumlahkan 6 suku pertama DA diatas mudah kita hitung dengan cara sbb :

Tulis deret mulai dari suku pertama sampai dengan suku terakhir (suku ke -6), kemudian tepat di bawahnya tulis deret dalam arah kebalikannya, yaitu dari suku terakhir ( suku ke – 6 ) sampai dengan suku pertama

S₆  =   3    +   5 + 7   + 9   + 11 + 13

S₆  = 13    + 11 + 9   + 7   +   5 +   3

_____________________________  +

2. S₆ = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 6 x 16

    S₆  = x 6 x 16 = 48

Kegiatan :

menemukan rumus umum deret aritmetika

kerjakan bersama teman sebangku

dengan menuliskan DA dalam notasi umum yaitu :

S_n = U₁                + (U₁+ b)  + (U₁+ 2b)  +... +(U_n  -b)    + U_n  

S_n = U_n               + (U_n  - b)   + (U_n  - 2b)_. +...+ (U₁ + b)    + U₁

____________________________________________________+

2. S_n = (U₁ + U_n ) + (U₁ + U_n ) + (U₁ + U_n ) +...+( U₁ + U_n ) + (U₁ + U_n )

 2. S_n= n x (U₁ + U_n )

S_n = x n x (U₁ + U_n )

S_n = ( U₁ + U_n )

Atau

S_n = [ U₁ + U₁+(n-1)b)]

S_n = [2. U₁+(n-1)b]

Jika U₁= a , maka

S_n = [2.a+(n-1)b]

Kegiatan :

Menemukan rumus yang berlaku bagi semua deret

Dengan menulis DA dalam bentuk umum, yaitu

S_n    = U₁ + U₂ + U₃  +... + U_n-1    + U_n  

S_n-1 = U₁ + U₂ + U₃  +... + U_n-1

kurangkanlah S_n dengan S_n-1,hubungan apakah yang anda peroleh ?

Tentukan jumlah 15 suku yang pertama DA jika U₁ = 10 dan U₁₅ = 95

Tentukan 3 + 13 + 23 + 33 + 43 + ... + U₁₂₀

Tentukan jumlah deret  93 + 89 + 85 + 81 + 77 + ... +( - 307 )

5. BARISAN GEOMETRI

Telah anda ketahui bahwa urutan bilangan 1,3,9,27,... di sebut barisan bilangan. Coba  anda hitung perbandinganatau rasio dua suku yang berurutan. Misalnya ,, . Apa yang anda peroleh ?

Angka 3 disebut rasio dari barisan. Barisan seperti ini di sebut BARISAN GEOMETRI

 a. Jadi apakah definisi BARISAN  GEOMETRI

b. Tentukan apakah setiap barisan berikut adalah barisan geometri .Jika ya,

      tentukan rasionya

      2, 4, 8, 16, ...

      1, 3, 4, 7,11,...

       256,64,16,4,...

Jika barisannya adalah barisan geometri maka menurut definisi barisan

 Geometri haruslah di penuhi

                                     , dengan n > 1

Selanjutnya, Anda akan menurunkan rumus umum suku ke –n, yaitu U_n dari suatu barisan geometri.

Misalnya :  U₁ ,U_2, U_3, U_4, ...., U_n adalah barisan geometri dengan rasio r , maka :

U₁ = U₁

U₂ = U₁ . r

 U₃= U₂ . r = U₁. r. r = U_1.r² = U_1.r^3-1

U₄= U₃ . r = U_1..r².r = U_1.r³ = U_1.r^4-1

Dst

U_n=  U_1. r^{....- ...}

Jadi :

Jika  BG : U₁, U_{2 ,} U₃ , ... , U_n  memiliki  rasio r

Maka : rumus umum suku ke – n adalah  U_n =  U₁. r^n-1

Tentukan suku ke -8  dan suku ke – n dari barisan 2, 6, 18, 54, ...

Dari suatu BG diketahui  dan . Tentukan rasionya

Dari suatu BG diketahui  dan , dan rasio -3. Tentukan nilai n

6. DERET GEOMETRI

Jika suku – suku barisan geometri kita jumlahkan maka akan di peroleh deret geometri. Untuk menentukan jumlah n suku yang pertama dari DG lihat halaman 257.

Selesaikan latihan Subbab B halaman 259 nomor 2,3

Jumlah adalah . Tentukan banyak suku dari deret ini